История логики

Логические задачи ...

Высказывания

Логические функции

Таблицы истинности

Запись выражений на языке алгебры логики

Законы логики

Решение задач

Логические задачи

Софизм "Ахилл и черепаха"

В этом софизме древнегреческий герой Ахилл бегает на перегонки с черепахой. Ахилл полагает, что он бегает явно быстрее черепахи и поэтому дает ей некоторое расстояние форы. Им дают сигнал старта

И вот что происходит дальше:

Ахилл, конечно, быстро преодолеет то расстояние, которое отделяет его от места старта черепахи, однако черепахи в этот момент там уже не будет, ведь черепаха, хотя и медленно, но всё же двигается. Следовательно, когда Ахилл достигнет места, с которого стартовала черепаха, их будет разделять некоторое расстояние. Ахилл сможет быстро преодолеть это расстояние за какое-то время. За это время черепаха опять уйдёт вперёд и между ней и Ахиллом опять окажется не пройденное расстояние. То есть каждый раз, когда Ахилл будет прибегать в точку из которой черепаха начинает новый старт, черепахи там уже не будет, а следовательно как бы быстро не бежал Ахилл, ему никогда не догнать черепахи!

Софизм "СПИЧКА ВДВОЕ ДЛИННЕЕ ТЕЛЕГРАФНОГО СТОЛБА"

Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .

Имеем b - a = c, b = a + c.

Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b² - ab = ca + c².

Вычтем из обеих частей bc.

Получим:

b²- ab - bc = ca + c² - bc, или

b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Зависит ли скорость свободного падения от массы тела?

Средневековый ученый Галилео Галилей открыл важный физический закон, что ускорение свободного падения, это фундаментальная величина, не зависящая от массы тела, иначе говоря, все тела падают с одинаковым ускорением, не зависящим от их массы (если конечно не учитывать сопротивление воздуха). Этот факт Галилей открыл экспериментально, бросая ядра разной массы, с наклонной башни в городе Пиза.

Нет ничего удивительно в том, что Галилей открыл закон, анализируя экспериментальные данные, а сейчас мы сделаем невероятное, мы откроем тот же закон просто рассуждая:

Ясно, что существуют только три возможности:

1. Более массивное тело падает быстрее, чем более легкое.
2. Более массивное тело падает медленнее, чем более лёгкое.
3. Тела разной массы падают с одинаковым ускорением.

1. Предположим, что более массивное тело падает медленнее. Возьмём ядро, разрежем его на две равные части, соединим и бросим с башни. Так как части ядра не соединены друг с другом и каждая часть легче целого и масса их одинакова, то они должны падать быстрее чем целое ядро. Если же мы разрежем ядро на четыре части, то оно упадёт ещё быстрее, следовательно увеличивая количество разрезов, мы увеличиваем скорость падения ядра. Большая скорость падения соответствует большей кинетической энергии. То есть, простое распиливание ядра привело к увеличению кинетической энергии, что противоречит закону сохранения энергии. Получили противоречие. Следовательно, более массивное тело не может падать медленнее более легкого.

2. Теперь предположим, что более массивное ядро падает быстрее. Повторив рассуждения, мы придём к выводу, что простое разрезание приводит к уменьшению кинетической энергии, что также противоречит закону сохранения энергии.

3. Остается единственная возможность, это тела разной массы падают с одинаковым ускорением, что и требовалось доказать.

Приведённое выше рассуждение выглядит вполне разумным, и этот факт действительно был установлен Галилеем экспериментально, однако, с точки зрения здравого смысла, выглядит совершенно невероятным, что можно получить этот факт, не прибегая к физическому эксперименту. И действительно в наших рассуждениях содержится ошибка. Попробуйте её найти.

А ученые продолжали находить парадоксы, ставящие под сомнение нашу способность мыслить и находить правильные решения. Очень сильное впечатление на математиков произвел опубликованный в 1903 году парадокс Бертрана Рассела, который звучит так: пусть М есть множество всех таких множеств, каждое из которых не является собственным элементом, Можно доказать, что М является своим элементом тогда и только тогда, когда М не является своим элементом. Сформулируем этот парадокс в более понятной форме, для тех кто не владеет теорией множеств. В популярной форме, этот парадокс известен как парадокс парикмахера.

Парадокс Парикмахера

В некоторой деревне живут только мужчины, про которых известно, что они либо бреются сами, либо их бреет парикмахер. Парикмахер живёт в этой же деревне.

Вопрос: Кто бреет парикмахера?

Рассуждения: Возможны два варианта ответа на поставленный вопрос: парикмахер бреется сам или его бреет кто-то другой.

Рассмотрим эти два варианта:

1. Парикмахер бреется сам. Тогда он мужчина, который бреется сам, но таких мужчин парикмахер не бреет. Отсюда следует, что парикмахер себя не бреет. Получили противоречие.

2. Парикмахера бреет кто-то другой. Тогда парикмахер - мужчина, который сам не бреется, но всех таких мужчин в деревне бреет парикмахер. Отсюда следует, что парикмахер бреется сам. И мы опять получили противоречие.

Оба возможных варианта привели к противоречию. Таким образом ответа на такой казалось простой вопрос не существует.

Самый важный вывод из всего вышесказанного: необходимо изучать мышление, так же как мы изучаем природу. Нужно открыть законы мышления, которые объясняли бы почему иногда не получается хороших выводов несмотря на то, что мы вроде мыслим правильно и как надо рассуждать, чтобы приходить к верным результатам.